FondamentalConditions de Cauchy-Riemann

Soit D un domaine dans C et f(z)=u(x,y)+iv(x,y) est une fonctions de D dans C. Pour que f soit holomorphe dans D, il faut et il suffit que les dérivées partielles (∂u)/(∂x), (∂u)/(∂y), (∂v)/(∂x) et (∂v)/(∂y) existent en tout point de D et soient continues, et vérifient les équations de Cauchy-Riemann

(∂u)/(∂x)=(∂v)/(∂y) et (∂u)/(∂y)=-(∂v)/(∂x).

ComplémentCorollaire

Si on sait que la dérivée f′(z₀) existe alors on peut la calculer en utilisant les conditions de Cauchy-Riemann. En effet on a

f ' ( z ₀ ) = ∂ u ∂ x ( x ₀ , y ₀ ) + i ∂ v ∂ x ( x ₀ , y ₀ ) , f'(z₀)= { partial u } over { partial x} (x₀,y₀)+i{ partial v } over { partial x} (x₀,y₀),{}